L5 · 直角三角形 · 一题多解

一道 45° 几何题，
八种证法

先动手量一量、猜一猜，再把八种证明一步步看懂。最后带走一套以后遇到类似的题也用得上的思路。

原题（按照片转录）

如图，已知 Rt△ABC 中（直角在 C），∠A < 45°。在 AB 边上取一点 D，作 ∠BDF = 45°，交 AC 于 E，交直线 BC 于 F。若 BF = CE，探索 AB、CE、AE 的数量关系。

  • ∠C = 90°
  • ∠A < 45°
  • ∠BDF = 45°
  • BF = CE
先动手探索 直接看八种证法

拖动滑块改变三角形的形状。D 的位置始终由 BF = CE 唯一确定；同样的刻痕表示等长。

第 1 站 · 动手探索

先让点 D 动起来

题目问的是“探索关系”，答案事先不知道。先别急着证明：拖动 D，观察 BF 和 CE 怎样变化，找到它们相等的那一刻。

BF
CE

打开“显示所有可能的 DF”：不管 D 在哪，DF 都和 AB 成 45°，这些直线互相平行。D 只是让一条方向固定的直线平移。直线往下移时，CE 缩短得比 BF 快，两者只会相等一次，所以满足条件的 D 是唯一的。

测量，然后猜

下面是 D 满足 BF = CE 时的测量结果（取 AB = 10）。第一行跟随你当前的 ∠A。先自己找规律，再点一个猜想，用四个不同形状检验它。

结论

AB² = 2(AE² + CE²)

AE = CF证明中几乎都会经过它
CE = (AC + BC)/2CE 是两条直角边的平均数
AE = (AC − BC)/2AE 是两条直角边差的一半
AB = √2·EFAB 是 Rt△CEF 斜边的 √2 倍

第 2 站 · 读条件

每个条件都是一条线索

动笔之前，先问每个条件“能拿来做什么”。这一步往往决定了你会画哪条辅助线。

∠C = 90°

信号：直角、垂直

  • 现成的两个直角三角形 △ABC、△CEF，最后多半用勾股定理收尾。
  • BF 在 BC 上、CE 在 CA 上，所以 BF ⊥ CE。

∠A < 45°

信号：保证图形长这样

  • 大角对大边：AC > BC。
  • 它决定辅助点落在哪里。例如在 CA 上截 CH = CB，H 一定在线段 AC 上。

∠BDF = 45°

信号：特殊角

  • D 滑动时 DF 的方向不变，它其实只给了一个方向。
  • 45° 常和等腰直角三角形成对出现。新图里再冒出一个 45°，就能推出平行。

BF = CE

信号：等长又垂直

  • 它把 D 的位置唯一确定下来。
  • 两条线段等长且垂直，转 90° 就能重合：可以复制三角形，也可以找旋转中心。

局部放大：A、D、E 附近。

一个关键角：∠CEF = 45° − ∠A

只用角度计算就能得到。它告诉我们：∠A 一旦确定，Rt△CEF 的形状就确定了。方法 ⑤ 和 ⑧ 都从这里出发。

    第 3 站 · 证明工作台

    八种证法，一步一步看

    选一种证法。图会跟着步骤变化：新添的线会被画出来，当前这一步用到的部分会被点亮。拖动 ∠A 滑块，可以看到每一步对任何形状都成立。

      第 4 站 · 背后的结构

      八种证法，三个零件

      把八种证法拆开，反复出现的只有三样东西：一个 90° 旋转，一次“45° 推平行”，以及一个和差平方的恒等式。看懂这三样，就看懂了这道题。

      零件一

      一个旋转，串起 ① 和 ②

      把 △CEF 绕点 Z 顺时针旋转 90°（Z 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形的直角顶点）：

      • C 转到 B，E 转到 F，F 转到 G。方法 ① 的全等 △CEF ≌ △BFG，就是这一次旋转；Z 正是方法 ② 里 BH 的中点。
      • 旋转 90° 前后的线段互相垂直且相等。EF 转成 FG，所以 EF ⊥ FG、EF = FG，等腰直角 △EFG 就是这样来的。
      • Z 到对应点的连线也一样：ZE ⊥ ZF，ZE = ZF，这就是方法 ② 的等腰直角 △ZEF。
      90°

      零件二

      45° 的接力

      题目的 45° 在 D 点，离要证的线段很远。几乎每种方法都在新图里再造一个 45°（大多来自等腰直角三角形），再用“同位角或内错角相等，两直线平行”把它接过来。

      零件三

      殊途同归：两个中转站和一条捷径

      各种方法证出来的“中间结论”看上去不同，其实是一回事。最后一步都是同一个恒等式。

      中转站 1

      AE = CF

      ① 由平行四边形得到；④ 由等腰直角 △AEG 得到；⑤ ⑧ 直接算出。

      中转站 2

      BC = CE − AE
      或 2CE = AC + BC

      ② 由中位线得到；⑥ 由两式相加得到；⑦ 由相似比解出。

      捷径

      AB = √2 × 某条斜边

      ① AB = EG = √2·EF；③ AB = √2·AK。直接得到平方和，不经过中转站。

      两个中转站其实是一回事：因为 BF = CE，所以 BC + CF = CE。于是 CF = AE ⇔ BC = CE − AE ⇔ 2CE = AC + BC。

      到了中转站，两条直角边就分别是 CE 与 AE 的和与差：

      AC = AE + CE
      BC = BF − CF = CE − AE

      代入勾股定理，用一次和差平方公式：

      AB² = (CE + AE)² + (CE − AE)²
      = 2CE² + 2AE²

      交叉项 ±2·CE·AE 正好抵消，系数 2 就是这样来的。

      第 5 站 · 方法对比

      哪种简单，哪种繁琐

      比较的不是辅助线的条数，而是整条推理链的负担：想到它有多难、步骤有多长、要算多少。评分是对这道题的主观估计（点越多负担越重）。点一行可以跳到对应证法。

      推荐的学习顺序

      1. ①主线。一次全等，没有计算。先把它彻底弄懂，再看其他方法。
      2. ②同一个旋转换一种写法，体会“旋转中心”这个视角。
      3. ③学会从结论的形状倒推辅助线：平方和就去造直角三角形。
      4. ⑤掌握“算角、配角、相似、解方程”这条不靠灵感的路。
      5. ⑥ ④ ⑦拓展：相加消点、两组共圆、和差构造，各有一个可迁移的技巧。
      6. ⑧用计算检验答案，并看清为什么偏偏是 45°。

      第 6 站 · 条件实验

      改一个条件，结论还在吗？

      题目的每个条件都有用。在这里把条件改掉，看看结论什么时候失效，再想想是证明中的哪一步先断掉了。

        第 7 站 · 解题工具箱

        以后遇到类似的题

        把这道题里的动作提炼出来：看到什么信号，就试什么工具。括号里是本页用到它的证法。

        两条线段等长又垂直→想 90° 旋转：整体复制一个三角形（①），或者找旋转中心（②）。
        45° 和直角同时出现→造等腰直角三角形。八种证法里有七种都在造它。
        结论形如 x² + y²→构造以 x、y 为直角边的直角三角形，把平方和变成一条斜边（③）。
        结论里有系数 2 或 √2→等腰直角三角形：斜边² = 2 × 腰²（①③）。
        新图里冒出与已知相等的角→推平行，再找平行四边形或中位线（① ② ③ ⑦）。
        角能配上，边配不上→用相似。列比例之前先想清楚要消去哪个量（⑤ ⑦）。
        图中有个“多余”的分点→利用 AD + BD = AB，把两个乘积相加，让分点消失（⑥）。
        实在没有思路→设角、设边，先算出答案；再看着答案找几何解释（⑧）。

        一套可以照着走的流程

        1. 标结构圈出直角、特殊角、等长、平行、中点，写清点的顺序（A、E、C 依次共线，B、C、F 依次共线）。
        2. 选对象挑一个含关键边或关键角的现成小三角形。本题的 △CEF 同时含 CE、直角和 DF 的方向。
        3. 先写对应，再画线例如 CE ↔ BF、CF ↔ BG。全等还缺什么条件，就用辅助线补什么。
        4. 读全新图全等不只给等边，也给等角；相似不只能算边，也能传角。看看是否出现了等腰、直角、平行。
        5. 接回原题检查还没用过的条件（本题是 45°）能不能接上。推平行是最常见的接法。
        6. 选收尾有直角就考虑勾股；有比例式和线段的和差关系，就有计划地消元。

        复习时遮住答案问自己

        1. 为什么挑 △CEF 来复制，而不是别的三角形？
        2. 方法 ① 里，为什么 G 必须取在 BC 下方？
        3. 全等之后，除了 EF = FG，还必须读出哪一组等角？
        4. 题设的 45° 在每种方法里分别是在哪一步用上的？
        5. AE = CF、BC = CE − AE、2CE = AC + BC 为什么是一回事？
        6. 如果 ∠BDF 不是 45°，方法 ① 的哪一步会失效？

        第 8 站 · 练一练

        先自己想，再看提示

        计算

        有了结构，算具体长度

        在原题中，若 AC = 13，BC = 5，求 CE、AE、CF 和 AB²。

        提示

        CE = (AC + BC)/2，AE = CF = (AC − BC)/2。最后检验 AB² = 2(AE² + CE²)，以及 EF = √(CE² + CF²)、AB = √2·EF。

        计算

        特殊角

        若 ∠A = 30°，AB = 2，求 AE 与 CE 的精确值，并验证结论。

        答案

        BC = 1，AC = √3。CE = (√3 + 1)/2，AE = (√3 − 1)/2。
        2(AE² + CE²) = 2 × [(4 − 2√3) + (4 + 2√3)]/4 = 4 = AB²。

        找错

        这个“快速证明”对吗？

        “作 BG ⊥ BC，取 BG = AE。因为 BF = CE，两个三角形都含直角，所以 △BFG ≌ △CEF，得到 AE = CF。”它错在哪里？

        识别结构

        换了字母，还认得出来吗？

        在 Rt△PQR 中，∠Q = 90°，∠P < 45°。S 在 PR 上，直线 SU 交 PQ 于 T、交 RQ 的延长线于 U，且 ∠RSU = 45°，RU = QT。探索 PR、PT、QT 的数量关系。

        提示 1：对应关系

        P ↔ A，R ↔ B，Q ↔ C，S ↔ D，T ↔ E，U ↔ F。要复制的小三角形是 △QTU，让 QT 对应 RU。

        答案

        PR² = 2(PT² + QT²)。在直线 RU 与 P 相反的一侧作 RV ⊥ RU，取 RV = QU，连接 UV、TV。由 SAS 得 △RUV ≌ △QTU，于是 UV = TU、UV ⊥ TU，∠VTU = 45° = ∠RSU，TV ∥ PR，PRVT 是平行四边形：PT = RV = QU，PR = TV。所以 PR² = TV² = 2TU² = 2(QT² + PT²)。

        逆向思考

        把条件换一个

        如果把条件 BF = CE 换成 AE = CF，还能推出 BF = CE 吗？

        答案

        能。DF 的方向固定，所以 CF∶CE 是定值 (AC − BC)∶(AC + BC)（来自 ∠CEF = 45° − ∠A）。AE = CF 即 AC − CE = CE·(AC − BC)/(AC + BC)，解得 CE = (AC + BC)/2，于是 BF = BC + CF = (AC + BC)/2 = CE。
        BF = CE、AE = CF、2CE = AC + BC 这三个条件在这里互相等价，任何一个都能把 D 唯一确定。

        中点结构

        只用中点和线段加减

        在 CA 上取 CH = CB，Z 是 BH 的中点。若已经证明 ZE ∥ AB，怎样只用中点关系、BF = CE 和线段加减得到 AE = CF？

        答案

        在 △ABH 中，Z 是 BH 的中点且 ZE ∥ AB，所以 E 是 AH 的中点，AE = EH。又 CE = BF > BC = CH，H 在 C、E 之间，所以 EH = CE − CH = BF − BC = CF。因此 AE = CF。